En cliquant sur l’image vous aurez la possibilité d’explorer cette fractale dans une résolution de 2048×2048 pixels.

Une rotation de 90° pour observer le dessus fait apparaître une superbe étoile à sept branches:

Cliquez sur l’image pour une meilleure définition.

Pour de plus amples informations sur ces objets mathématiques, je vous conseille de lire l’article paru dans le science&vie de ce mois.

L’image ci-dessus a été construite en suivant les instructions  décrites sur le site http://www.subblue.com/projects/mandelbulb.

Autre point de vue:

C’est un univers sans frontière d’une complexité organique incroyable.

Voici un zoom sur une zone au hasard:

Cette figure géométrique très complexe est en fait le résultat d’une règle simple suivie par le logiciel Golly. Ce logiciel est un automate cellulaire performant ( voir la définition de wikipedia ). Certains mathématiciens dont Stephen Wolfram n’hésitent pas à prétendre que la complexité de notre univers pourrait être le résultat d’une règle simple inlassablement répétée.

Je précise qu’il y a un peu d’infographie avant d’arriver à cette image mais l’architecture de base est l’oeuvre de l’automate cellulaire.

Autre exemple:

” L’architecte Vitruve écrit dans son livre sur l’architecture que les mesures de l’homme sont ordonnées par la nature comme suit: 4 doigts font une paume, 4 paumes un pied, 6 paumes une coudée et 4 coudées font un double pas et 24 paumes une longueur d’homme. Ces mesures ont été utilisées dans ses édifices “

Leonardo da Vinci fait ici référence aux mesures de longueur utilisées par les architectes de l’époque ( paume, palme, empan, pied et coudée ) . Ces mesures suivent une progression liée à la suite de Fibonacci. Je rappelle que dans cette suite, un nombre est égal à la somme des deux précédents ( 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34…) et que le rapport d’un élément de cette suite avec le précédent se rapproche du nombre d’or ( phi=1,618.. ) au fur et à mesure que la suite grandit ( 34/21 est plus près de phi que 8/5 ). La coudée est donc égale au pied plus l’empan. Le pied est égal à l’empan plus la palme. l’empan est égal à la palme plus la paume. La paume valant 7,64 cm, l’homme de Vitruve mesure 1m83.

“Si tu écartes les jambes assez pour que ta hauteur diminue de un quatorzième, et si tu ouvres et lèves les bras de sorte que les médius arrivent au niveau du sommet de la tête, sache que le nombril se trouvera au milieu entre les extrémités des membres écartés; et que l’espace entre les jambes sera un triangle équilatéral.”

L’homme de Vitruve est alors inscrit dans un cercle

On peut vérifier que le cercle qui correspond au pivotement du bras ( centre situé à l’épaule ) coupe le cercle primitif centré sur le nombril, exactement à la pointe du médius:

Par contre, il y a une erreur au niveau des jambes. Le pivotement est assuré par la tête du fémur qui s’articule dans l’os illiaque. Les jambes écartées sont trop petites:

“L’ouverture des bras de l’homme est égale à sa hauteur “

Leonardo inscrit l’homme de Vitruve dans un carré:

En couvrant le carré par une grille de 8×8, on peut vérifier les mesures suivantes:

• ” de la base du menton au sommet du crâne, c’est le huitième de la hauteur de l’homme”
• ” la largeur maxima des épaules mesure le quart de l’homme”
• ” le membre viril naît au milieu de l’homme”
• “de la plante du pied à la limite inférieure du genou, c’est la quatrième partie de l’homme”
• ” de la limite inférieure du genou à la naissance du membre, ce sera la quatrième partie de l’homme”

J’ajouterais:

• de la base du menton aux mamelons, c’est le huitième de la hauteur de l’homme
• du coude à l’extrémité de la main, c’est le quart de l’homme
• la tête est aussi divisible par une grille de 8×8
• 
• du sommet du crâne à la ligne des yeux, c’est la moitié de la hauteur de la face
• la racine du nez est au 3/4
• la limite inférieure de la bouche est au 7/8

Certains se demandent si l’homme de Vitruve n’est pas une voie pour résoudre la quadrature périmétrique du cercle car il existe une construction géométrique qui s’en approche.

Pour rappel, il s’agit de construire un carré dont le périmètre serait égal à la circonférence d’un cercle. Si nous partons du carré de l’homme de Vitruve divisé par une grille de 8×8, on peut construire un cercle de rayon 5 et qui passe par les sommets A et B du carré grâce au fameux triangle rectangle 3,4,5 de Pythagore.

Comme on peut le voir, ce cercle n’a rien à voir avec le cercle dessiné par Léonardo, mais c’est déjà une bonne approximation de la quadrature périmétrique du cercle.

En effet le périmètre du carré vaut: 4×8 = 32 unités et la circonférence du cercle: 2xpix5=31,4 unités.

A noter que le centre de ce cercle se trouve à un huitième au dessus du nombril.

Ajout – 10 novembre 2008:

Le cercle et le carré ont une valeur symbolique qui va au delà de l’aspect mathématique. Leonardo était certainement influencé par le courant néoplatonicien qui régnait à Florence.

Pour Platon les quatre éléments sont associés à des solides réguliers. Ainsi la Terre est symbolisée par le cube et l’Univers par la sphère ou le dodécaèdre. ( voir article: http://fr.wikipedia.org/wiki/Solides_de_Platon )

Inscrire l’Homme dans un carré c’est mettre en évidence son origine terrienne, son aspect matériel et physique.

L’inscrire dans un cercle c’est rappeler sa nature cosmologique et spirituelle qui le situe au centre de l’Univers.

Leonardo a peut-être voulu nous rappeler ces deux aspects de l’Homme.

Message important pour notre époque matérialiste…

Ajout  – 24 février 2009:

Intrigué par l’aspect ésotérique de l’oeuvre de Léonardo, je me suis demandé s’il n’avait pas été influencé par le climat cabalistique qui régnait à Florence au 15ième siècle ( voir Pic de la Mirandole sur wikipedia: http://fr.wikipedia.org/wiki/Pic_de_la_Mirandole ).

En m’inspirant de l’excellent ouvrage de Maggy Whitehouse ( total Kabbale ), j’ai créé l’animation suivante qui illustre la construction de l’arbre de vie sur le dessin de Léonardo.

Je ne sais pas si on peut en tirer un enseignement ou si cette idée est farfelue…